원문: 아인슈타인의 상대성이론, 그림은 원문을 참고할 것!!!

사물의 경험은 우리가 서로 동의할 수 있는 특징을 갖는다. 동일한 관측 장소의 사람들은 사물의 이동 비율, 무게와 같은 측정량에 동의할 수 있다. 그 특징들은 상상 속의 대상의 성질들과 달리 완전히 주관적이지 않다. 주어진 상황에서 동일한 시계를 사용하는 사람들이 시간과 거리에 대해 말하는 방식은 거의 같다. 사물들의 측정량은 상호 주관적으로 다루어질 수 있다. 물리학은 그러한 측정량을 바탕으로 사물의 원래 모습을 형성하는 객관적 성질을 추적한다. 이 추적 방법은 그냥 경험적으로 얻어질 수 없다. 이 사실을 아인슈타인을 다루기 전에 뉴턴과 관련시켜 살펴보자.

1. 뉴턴 역학의 두 전제

뉴턴 역학의 철학적 두 전제는 서양 물리학에 담긴 고유한 자연관에 속한다.1)

독립적 객관성: 관측과 관련된 모든 것은 관측과 무관한 것에 의해 설명될 수 있어야 한다.

자연 법칙의 보편성과 불변성: 자연 법칙은 우주 어느 곳에서나 그리고 어떤 상황에서나 동일하게 적용된다. 자연 법칙은 보편적(universal)이다. 자연 법칙은 시간에 따라 변하거나 진화하지 않는다. 자연 법칙은 불변(immutable)이다.

독립적 객관성의 요구가 반드시 경험 이전의 실체를 전제하는가? 서양 철학에서는 보통 그렇다고 여겨졌다. 경험 이전의 객관적 실체로서 물질 개념이 16세기 이후 정착했다. 시공간적 크기를 갖는 물질은 질적으로 변할 수 없다. 물질은 양적인 변화만을 허락한다. 물질의 양적인 변화를 나타내는 대표적 속성은 질량(mass)과 운동(motion)이다. 뉴턴에 이르러 질량과 무게의 구별이 뚜렷해졌고, 질량은 물질의 속성에 속한다.

물체 자체가 직접 경험될 수 없기 때문에, 질량과 같은 물질의 속성도 경험될 수 없다. 감각과 관련해 무게와 속도 등만이 경험된다. 질량은 속도의 상대 비례로서 얻어질 뿐이다. 속도는 경험과 관련된 측정량이다. 두 물체의 충돌 전과 후의 속도를 서로 비교함으로써 그 물체들의 질량을 유추해 낸다. 이를 위해 보편 법칙이 요구된다. 실례로 운동량 보존 법칙을 들 수 있다. 운동량 보존 법칙이 보편적으로 적용되지 않는다면, 우리는 영원히 물질과 질량에 대해 침묵해야 한다.

아인슈타인의 등장은 고전 역학의 세계관을 붕괴시켰다. 물질의 질량은 운동과 무관하지 않고, 운동 이전에 먼저 주어진 절대적 시공간도 없다. 이로부터 물질과 운동이 같다는 등 혹은 시공간이 허상이라는 등의 결론이 나오는 것은 아니다. 뉴턴 역학의 철학적 두 전제가 어떻게 상대성 이론의 전개 과정에 영향을 미쳤는지를 분석한다.

2. 아인슈타인과 에터

후기 아인슈타인은 한 때 그를 매혹시켰던 마흐 철학을 혹독히 비판했다. 그는 마흐 철학을 일종의 유아론 혹은 관념만이 있다는 철학으로 보았다.2) 마흐 철학 속에서 물리학은 성립할 수 없다고 본 것이다. 그러나 마흐의 실증주의 정신은 아인슈타인의 일생을 관통한다. 아인슈타인은 실험에 의해 영원히 검증될 수 없거나 지지될 수 없는 이론에 대해 회의적이었다. 이러한 태도는 그의 에터(ether)의 부정에서 잘 나타난다.

에터는 아리스토텔레스가 천구의 원운동을 설명하기 위해 도입한 제 5원소였다. 천상계는 에터로 채워져 있다. 아리스토텔레스의 권위는 원자론의 도입을 가로막았다. 원자론은 진공을 가정하기 때문이다. 진공 속에서 운동하는 원자 개념은 갈릴레이에 의해 부활했다. 원자론의 부활도 에터의 존재를 사장시키지는 못했다. 에터의 존재에 대한 최초의 합리적인 의심은 뉴턴에 의해 던져졌다.

에터의 인정은 물질 이원론을 낳는다. 물체를 형성하는 순수 물질(gross matter)이 있고, 천구의 운동과 관련된 또 다른 물질로서 에터가 있다. 에터 또한 물질이므로 천구의 회전 운동에 방해물로 작용할 것이다. 천구의 안정성을 위해서 에터는 없던지 아니면 그 밀도가 도저히 검증될 수 없을 정도로 희박해야 한다.3) 이러한 뉴턴의 의심에도 불구하고 에터의 가정은 이어졌다. 에터의 가정은 그 시대 과학 기술 수준에서 빛의 파동 현상을 잘 구제해주었기 때문이다. 그 후 에터는 파동 전파의 매질로서 정착했다.

맥스웰과 로렌츠(H.A. Lorentz)에 의해 빛의 전파는 전자기파의 일종임이 밝혀졌다. 빛의 전파 또한 에터를 매질로 삼는다면, 지구 자전 방향으로 들어오는 빛과 반대 방향으로 들어오는 빛은 서로 속도가 달라야 한다. 마이켈슨과 몰리의 반복된 실험에도 불구하고 빛의 속도는 어느 방향에서나 동일했다. 연애 시절만 하더라도 에터의 존재를 믿었던 아인슈타인의 태도는 점차 회의적이 되었다. 에터가 경험적으로 반증되었기 때문이 아니다. 어떤 가설에 반하는 사례가 발견될 때 과학자들은 막 바로 기존 가설을 포기하지 않는다. 기존 가설은 수정되고, 이론은 견고하게 된다. 아인슈타인은 뉴턴처럼 에터가 존재하더라도 영원히 검증될 수 없는 것으로 보았다. 경험 현상과 관련시킬 수 없는 존재의 가설은 도입하지 말라. 이 준칙은 아인슈타인이 마흐에게 영향을 받은 것이다.

마흐의 준칙에 대한 아인슈타인의 동정심이 가설 일반에 대한 검증 가능성의 옹호로 확대 해석되어서는 안 된다. 그 어떤 측정량도 에터와 연관시킬 수 없다고 여겼기 때문에, 아인슈타인은 에터를 부정한 것이다. 특수 상대성 이론이 아무런 전제 없이 건설된 것은 아니다. 전자기파의 일종으로서 빛의 전파가 항상 일정하다는 것은 특수 상대성 이론에 전제되어 있다. 가설이란 경험 현상을 구제하고 통합 설명하는데 필요하다. 가설이 경험을 통해 맞바로 도출되거나 검증되는 것은 아니다. 이 세상 그 누구도 모든 가능한 상황에서 빛의 속도를 점검해 본적은 없다.

3. 특수 상대성 이론

특수 상대성 이론 속에서 발견되는 방법론은 뉴턴 역학의 두 전제 중 자연 법칙의 보편성과 불변성 전제에 바탕을 둔다. 이를 간략하게 정리한다.

1. 물질의 속성인 질량과 운동은 관측 장소와 무관하게 이론에 의해 도출될 수 있어야 한다.

2. 이를 위해 보편적이고 불변의 자연 법칙이 필요하다. 속도 등 주어진 관측량에 법칙을 적용시킴으로써 물체의 진짜 운동 방식을 알 수 있다. 속도는 관측 장소에 따라 다르게 측정된다. 속도가 이렇게 상대적이라는 사실은 고대부터 알려져 왔다.

3. 하지만 빛의 전파 속도는 관측 장소와 무관하게 항상 동일하게 측정된다.

4. 뉴턴 역학으로 대표되는 고전 역학과 빛의 전파와 관련된 고전 전자기학 사이에는 모순이 있다. 2와 3이 이를 반영한다. 맥스웰 전자기학의 4개 방정식은 빛의 전파 속도가 일정함을 함축하고 있다.

5. 에터가 정말 존재한다면, 3의 결과는 나올 수 없다.

6. 빛의 원천인 운동계에 대해서도 적용될 수 있는 보편적인 법칙을 찾아야 한다. 그 법칙은 4의 모순을 풀 수 있어야 한다.

이 논증의 1과 6사이에 법칙의 보편성을 요구하는 유사성이 발견된다. 관측 장소와 무관하게 빛의 속도가 일정하게 나타나야 한다는 조건은 새로운 자연 법칙을 요구한다. 그 새로운 법칙은 보편적이고 불변이어야 한다. 자연 법칙의 보편성과 불변성은 그 법칙이 관측 장소와 무관하게 적용됨을 말하기 때문이다. 새로운 법칙은 아인슈타인의 특수 상대성 이론의 운동 방정식에 해당한다.

특수 상대성 이론을 탄생시킨 아인슈타인의 논문 「운동하는 물체의 전기역학」("Zur Elektrodynmik bewegter Körper", 1905)에서 획기적인 발상의 전환은 시간 개념에 있다. 관측 장소와 무관하게 흘러가는 뉴턴의 절대 시간을 부정한 것이다. 아인슈타인의 발상은 매우 단순했다. 시간이란 관측 장소에 좌우되는 특정 측정량에 대응된다. 언급된 논문의 도입부에 명시된 그의 동기를 들어보자.

“시간의 정의에서 나타나는 모든 어려움은 시간을 그저 내 시계가 위치한 (측정) 장소로서 손목에 대체시킬 때 극복되는 것 같다. 이러한 방식의 시간 정의는 우리가 시간을 전적으로 시계가 위치한 장소에 국한하여 다룰 때 별 문제를 일으키지 않는다. 그러나 그 방식의 시간 정의는 다른 장소 혹은 나의 시계로부터 떨어진 곳에서 발생한 사건들을 고려하는 경우 만족스럽지 못하다.”

동일한 관측 장소에 있는 사람들은 나의 시계 바늘이 지시하는 숫자를 가지고 시간을 말할 수 있다. 동일한 관측 장소에서 시간은 나의 시계로 대체되어도 된다. 다른 장소에 있는 시계에 대해서는 아니다. 아인슈타인은 다른 장소의 시계를 관측하기 위한 신호로서 빛을 택했다. 빛의 속도가 항상 일정하므로 달리는 기차 안의 시계 바늘은 상대적으로 늦게 움직이는 것으로 관측된다. 이를 보기 위해 새로운 시계 하나를 고안하자. 시간이란 그저 측정 단위에 불과하기 때문에, 손목 시계가 시간을 대표할 이유는 없다. 달리는 기차의 가속도에 의한 힘의 영향을 상쇄시킬 수 있는 무거운 진자를 용수철에 매달자. 용수철의 진폭이 일정하게 유지되도록 전기를 공급하자. 이러한 식으로 고안된 시계가 내가 있는 관측 장소와 달리는 기차 안에 설치되어 있다. 빛을 통해 나는 그 시계를 관찰한다.

내 눈에 들어오는 진자의 주기적인 진폭 운동은 어떻게 나타날까? 기차 안에서 그 운동은 수직 운동이지만, 내 눈에는 그 수직 운동과 기차의 수평 운동의 합인 대각선 방향의 진폭 운동으로 나타난다. 내 눈에 일정한 속도로 들어오는 빛들은 일종의 거울과 같은 장치이다. 직각 삼각형의 대변이 가장 길다는 사실로부터 기차 안의 시계는 나의 시계보다 늦게 측정된다. 시간이 측정량에 불과하다면, 기차 안의 시간이 상대적으로 늦게 흘러간다고 말해야 한다.

위의 그림이 암시하듯이 피타고라스 정리가 아인슈타인의 특수 상대성 이론에서 중요한 역할을 한다. 그러나 시간에 대한 그의 발상의 전환은 세계관의 변화를 가져왔다. 시간의 흐름이 관측 장소와 무관하다는 고전 역학의 틀이 깨어진다. 고전 역학에서 운동 에너지가 운동량의 시간 적분으로 나타남을 기억 할 때 에너지는 더 이상 시간과 무관할 수 없다. 고전 역학의 운동 에너지 방정식이 질량을 기본 항으로 포함하고 있기 때문에, 질량과 에너지 또한 무관할 수 없다. 운동 중에 질량이 보존된다는 뉴턴의 질량 보존 조건은 특수 상대성 이론에 의해 깨어진다. 물체가 빨라진다는 것은 외부로부터 에너지 공급이 있었음을 말하고, 그 공급된 만큼의 에너지는 질량의 증가로 표현된다. 질량은 에너지와 등가이다. 정지 물체의 질량 또한 운동 중에 활성화될 수 있는 일종의 잠재 에너지로 보아야 한다. 이를 보여주는 방정식이 유명한 다음 공식이다.

E=moc2 (E는 에너지, mo는 정지 혹은 외부로부터 영향을 받지 않은 질량 그리고 c는 빛의 속도를 의미한다.)

물체가 활동하기 위해 미리 전제된 실체로서 고정된 시간은 없다. 시간은 일종의 측정 단위일 뿐이고, 그 양은 관측 장소에 따라 다르게 나타난다. 이 모든 혁명적인 결과는 고전 역학과 고전 전자기학 사이의 갈등을 없애려는 동기에서 비롯되었다. 그 동기는 자연 법칙의 보편성과 불변성을 전제한 것이다. 나중에 보겠지만 일반 상대성 이론에서 아인슈타인은 측정 단위에 불과한 시간 개념을 객관적인 것으로 대체시킨다.

4. 특수 상대성 이론의 시간과 물질

시간이 측정 단위에 불과하다면, 측정 가능한 모든 물리적인 것들은 시계가 될 수 있다. 주기성을 가진 것을 시계로 채택하는 것은 효율적이기 때문이다. 우리의 몸과 두뇌도 시계가 될 수 있다. 의식의 활동이 두뇌 활동을 필연적으로 전제한다면, A, B, C로 이어지는 사고들에 대해 일련의 두뇌 활동인 a, b, c가 대응할 것이다. A, B, C가 다른 내용을 가지므로, 이 세 사고에 단 하나의 두뇌 상태가 대응한다고 보기는 어렵다. 이러한 가정 하에 다음 사고 실험을 해보자.

1. 생각 및 지각 경험과 관련된 두뇌의 활동 단위가 있다. 그 활동은 일종의 에너지 작용이다.

2. 두뇌 활동을 위한 최소 단위의 에너지 양 β가 있다. β는 두뇌 시계의 기본 단위가 된다.

3. 그 단위는 관측 장소에 따라 다르게 측정된다.

4. 심지어 β는 상황에 따라 그 양이 달라질 수도 있다. 마약을 복용했을 때 모든 변화가 느리게 느껴지는 이유는 β의 양이 늘어났기 때문이다.

위의 조건을 충족하는 경우 두뇌는 시계가 된다. 이 시계의 단위는 관측 장소와 상황에 따라 달라지지만 측정될 수 있다. 우리의 과학이 두뇌를 시계로 택할 만큼 발달하지 못해서 그렇지 외계인들은 이미 두뇌 시계를 사용하고 있을지도 모른다.

두뇌 시계의 비유는 시간이 상대적인 측정 단위에 불과하다는 특수 상대성 이론의 교훈을 함축하고 있다. 에너지 활동으로서 두뇌 활동이 최소 단위를 가지고 있다는 가정은 현대 양자역학에 근거한다. 양자역학에서 에너지의 전파와 같은 활동은 불연속적이기 때문이다. 더욱이 3에 의해 두뇌 시계의 작용은 외부 환경으로부터 독립되어있지 않다. 이 세상의 그 어떤 것도 스스로 존재하지 않는다는 생각을 반영한다. 특수 상대성 이론이 3을 함축한다는 보장은 없지만 그렇다고 하자.

많은 사람들은 아인슈타인의 에너지와 질량의 등가성이 에너지와 물질의 등가성을 함축한다고 생각한다. 그들은 에너지의 본성이 활동성이므로 물질이 곧 활동성이라고 여긴다. 잘못된 얘기이다. 물리학자 보른(M. Born)이 지적했듯이 아인슈타인의 에너지와 질량의 등가성은 물질이 양 측면을 가짐을 뜻한다.4) 물질의 첫째 측면은 관성, 곧 상태 유지와 관련되고 질량에 의해 측정된다. 정지 물체에 잠재된 에너지를 빛의 속도로 나눈 것이 관성으로 측정된다.(mo=E/c2) 물질의 둘째 측면은 운동 중인 물질이 갖는 활력, 곧 운동 에너지이다.(E2=mo2c4+p2c2)

아인슈타인은 전통적인 물질 개념을 완전히 포기하지 않았다. 운동 이전에 혹은 운동과 무관한 물질이라는 형이상학적 토대(metaphysical substratum) 개념은 거부된다. 그렇지만 전통적인 물질의 동질성 개념이 거부된 것은 아니다. 모든 물체를 이루는 질료로서 물질은 어떤 물체에서나 동일하다고 여겨져 왔다. 특수 상대성 이론에서 물질의 질적 변화가 부정된 곳은 찾을 수 없다. 물질과 물질의 동질성 개념은 아인슈타인의 특수 상대성 이론에 있어서 논리적으로 전제되어 있다. 특수 상대성 이론이 밝힌 것은 물질이 운동과 무관한 실체가 아니라는 것일 뿐이다.

5. 일반 상대성 이론의 시공간 구조와 물질

아인슈타인과 관련해 유명한 개념은 4차원 시공간 개념이다. 이 개념은 그가 아니라 밍코브스키(H. Minkowski)에 의해 도입되었다.5) 특수 상대성 이론에서는 4차원 시공간이 등장하지 않는다. 아인슈타인에게 있어서 중요한 수학적 도구는 밍코브스키에 의해 제안된 기하학이 아니라 피타고라스 정리였다. 젊은 아인슈타인은 대학 시절 그의 선생이었던 밍코브스키의 4차원 시공간 개념을 받아들이지 않았다. 일반 상대성 이론을 건설할 시점에 이르러 아인슈타인은 4차원 시공간 개념을 수용했다.

많은 사람들이 생각하는 것처럼 일반 상대성 이론은 특수 상대성 이론의 단순한 확장이 아니다. 특수 상대성 이론에서 시간은 관측 장소에 좌우되는 일종의 측정 단위에 불과하다. 이러한 측정 단위는 관측 혹은 관측자에 좌우된다. 밍코브스키의 4차원 시공간 개념이 도입되면, 상황은 달라진다. 시간의 측정량에 대응하는 4차원 시공간 속의 간격(intervals)이 있어야 한다. 시간 측정량은 시계의 관측에 의해 이루어지지만, 그 측정량에 대응하는 4차원 시공간 속의 간격은 아니다. 그 간격은 측정을 근거로 하여 이론적으로 도출된다. 관측과 좌우되는 시간 측정량은 관측 혹은 관측자와 무관한 4차원 공간 속의 추상적인 간격에 의해 설명된다.

일반 상대성 이론에서 시공간은 관측 혹은 측정과 무관하게 혹은 객관적으로 존재하는 구조이다. 후기 아인슈타인은 4차원 시공간을 표현하는 리만 기하학(Riemann geometry)의 추상적인 구조를 현상을 설명하기 위한 도구로 여기지 않았다.6) 이점에서 뉴턴과 후기 아인슈타인은 다르지 않다. 다만 일반 상대성 이론의 4차원 시공간은 뉴턴의 그것처럼 절대적이지 않다.

뉴턴에 의하면 시공간은 신에 의해 가장 먼저 창조된 것이다. 물질의 운동을 위한 장소가 시공간이다. 운동은 물질로 구성된 물체의 장소 이동에 지나지 않는다. 그렇기 때문에 속도는 그저 시간 당 거리의 변화율로 표현된다. 이렇게 표현되기 위해서는 시간과 공간은 서로 독립적으로 존재해야 한다.

일반 상대성 이론에 의하면 시간과 공간은 서로 독립적이지 않다. 운동 중 물질의 질량은 시공간에 영향을 미친다. 물체의 질량이 무거울수록 물체는 주위 시공간을 왜곡시킨다. 실재로서 시공간의 구조는 역으로 물체의 운동에 영향을 미친다. 태양 질량에 의해 왜곡된 시공간의 곡률을 따라 빛이 운동하기 때문에, 그 운동 경로는 휘어져 관측된다.

아인슈타인의 4차원 시공간 개념이 뉴턴의 그것에 비해 확연히 달라진 것은 사실이다. 그렇지만 아인슈타인은 뉴턴의 훌륭한 후계자이기도 하다. 일반 상대성 이론에 이르러 아인슈타인은 뉴턴 역학의 철학적 두 전제인 독립적 객관성 및 자연 법칙의 불변성과 보편성 전제 둘 다 수용했다. 시간은 단순히 관측에 좌우되는 측정량 같은 것이 아니라 4차원 시공간 속에 실재하는 특정 간격에 대응한다. 이점은 관측과 관련된 모든 것이 관측과 무관한 것에 의해 설명되어야 한다는 독립적 객관성의 전제를 충족한다.

특수 상대성 이론의 건설에서 자연 법칙의 불변성과 보편성의 전제가 깔려져 있음을 보았다. 그 이론의 목적이 고전 역학과 고전 전자기학 사이의 갈등을 해소하고 통합하는 것이라면, 일반 상대성 이론의 목적은 모든 가능한 운동을 통합 해주는 법칙의 발견에 있다. 뉴턴의 세 가지 운동 법칙은 실제 보편적이지 않다. 그 법칙으로부터 중력 법칙이 도출되지 않기 때문이다. 뉴턴이래 중력과 그의 세 가지 운동 법칙을 통합하는 것이 중요한 숙제였다. 아인슈타인은 일반 상대성 이론에서 이 숙제를 푼 것이다. 중력이란 단지 4차원 공간 속에서 자유 낙하 하는 물체의 가속 효과에 지나지 않는다. 그러한 가속 효과는 4차원 공간을 왜곡시키고, 그 왜곡된 곡률을 따라 다른 물체가 움직이는 현상이 중력장 내의 운동이다. 이를 도식적으로 그려보면 다음과 같다.

그림의 왼편이 4차원 시공간 속의 상황을 나타낸다. 오른편은 그 상황을 3차원적으로 사영시켰을 때 얻어진다. 태양을 중심으로 한 지구의 공전 궤도를 나타낸다. 이론 물리학자들은 현상의 원인을 설명하기 위해 과감한 사고의 모험을 주저하지 않는다. 그러한 모험의 결과로서 이론은 상식적으로 이해하기 힘든 경우가 많다. 일반 상대성 이론이 그 대표적인 실례가 된다. 그러나 그 이론은 태양 주위에서 빛 경로의 왜곡현상 및 20세기 초까지 골칫거리였던 지그재그형의 수성 궤도 운동을 설명해 준다. 우주 어느 곳에서나 동일한 자연 법칙이 지배해야 한다는 뉴턴의 이상은 아인슈타인에게 그대로 이어진 것이다. 자연 법칙의 불변성과 보편성은 뉴턴과 아인슈타인의 자연관을 관통하고 있다.

주석

1) 이 두 전제는 뉴턴에게만 고유한 것은 아니다. 모든 물리학자와 자연을 탐구하는 철학가 이 두 전제를 전제하는 것도 아니다. 그러나 이 두 전제는 적어도 17세기 과학혁명 이후 많은 이들의 자연관 속에 도사리고 있다.

2) A. Einstein: "Autobiographical Notes" in P. Schilpp(Ed.): Albert Einstein: Philosopher Scientist, The Library of Living Philosophers, Inc 1949, p. 671.

3) I. Newton: Optice, 1706, p. 310.

4) M. Born: Die Relativitätstheorie Einsteins, Berlin 1964, p.247.

5) H. Minkowski: "Die Grundgleichungen fur die elektromagnetischen Vorgange in bewegten Korpern", Gottinger Nachrichten 1908.

6) 후기 아인슈타인은 시간을 감각과 관련시키는 마흐의 철학과 결별을 선언한다.